| $$f(x)=ax+b$$
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$$f'(x)=a$$
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$$f(x)=3x+6$$
$$f'(x)=3$$
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| $$f(x)=x^n$$
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$$f'(x)=nx^{n-1}$$
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$$f(x)=x^3$$
$$f'(x)=3x^2$$
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| $$f(x)=ax+b$$
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$$f'(x)=a$$
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$$f(x)=3x+6$$
$$f'(x)=3$$
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| $$f(x)=e^x$$
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$$f'(x)=e^x$$
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| $$f(x)=ln(x)$$
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$$f'(x)={{1} \over {x}}$$
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| $$f(x)=\sqrt x=x^{{1} \over {2}}$$
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$$f'(x)={{1} \over {2 \sqrt x}}={{1} \over {2}}x^{{-{{1} \over {2}}}}$$
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| En funktion der ganges med et konstantled, differentieres funktionen og konstanten ganges på.
$$f(x)=k \cdot f(x)$$
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$$f'(x)=k \cdot f'(x)$$
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$$f(x)=4x^3$$
$$f'(x)=4 \cdot 3x^2=12x^2$$
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| En funktion med flere led differentiers ved at differentiere hvert led for sig.
$$h(x)=f(x)+g(x)$$
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$$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$
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$$h(x)=x^2+2x-3$$
$$h'(x)=2x+2$$
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En funktion med to funktioner der ganges sammen differentieres ved:
1.funktion differentieres gange 2.funktion udifferentieret + 1.funktion udifferenteret gange 2.funktion differenteret.
$$h(x)=f(x) \cdot g(x)$$
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$$h'(x)=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$$
Bevis
Produktformen
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$$h(x)=x^2\cdot 4x$$
$$h'(x)=2x\cdot 4x + x^2\cdot 4$$
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En funktion med to funktioner der divideres differentieres ved:
1.funktion differentieres gange 2.funktion udifferentieret - 1.funktion udifferenteret gange 2.funktion differenteret,
divideret med 2.funktion i anden.
$$h(x)={{f(x)}\over {g(x)}}$$
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$$h'(x)={{f'(x)\cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}\over {g(x)^2}}$$
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$$h(x)={{x^3}\over {2x+1}}$$
$$h'(x)={{3x^2\cdot (2x+1) - x^3 \cdot 2}\over {(2x+1)^2}}$$
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En sammensat funktion differentieres ved:
Den udvendige differentieres, lad indmaden stå, differentiere indmaden og gang den på.
$$h(x)=f(g(x))$$
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$$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
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$$h(x)=(3x-1)^3$$
$$h'(x)=3(3x-1)^2\cdot 3$$
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| $$f(x)=sin(x)$$
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$$f'(x)=cos(x)$$
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| $$f(x)=cos(x)$$
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$$f'(x)=-sin(x)$$
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| $$f(x)=tan(x)$$
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$$f'(x)=1+ tan^2(x)={{1} \over {cos^2(x)}}$$
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